Limites et continuité d'une fonction

I. Limites en l'infini

Limite finie en +∞

Définition

Une fonction $f$ admet pour limite $\ell \in \mathbb{R}$ en $+\infty$ si $f(x)$ peut être rendu aussi proche que l'on veut de $\ell$ pour $x$ suffisamment grand.

Notation : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$

Limite infinie en +∞

Définition formelle

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ signifie : pour tout $A > 0$ , il existe $X$ tel que pour tout $x > X$ , $f(x) > A$ .

Exemples fondamentaux à connaître

Fonction	Limite en $+\infty$
$x^n$ ( $n \geq 1$ )	$+\infty$
$\sqrt{x}$	$+\infty$
$\frac{1}{x}$	$0^+$
$\frac{1}{x^n}$ ( $n \geq 1$ )	$0^+$
$e^x$	$+\infty$
$\ln(x)$	$+\infty$

Croissances comparées

En $+\infty$ : $\ln(x) \ll x^n \ll e^x$ pour tout $n > 0$ . Concrètement, l'exponentielle "écrase" toutes les puissances, qui "écrasent" le logarithme.

II. Limites en un point

Définition

Limite en $a$

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche que voulu de $\ell$ en prenant $x$ suffisamment proche de $a$ (mais $\neq a$ ).

Limites à gauche et à droite

Distinction cruciale

$\lim_{x \to a^-} f(x)$ : $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures $\lim_{x \to a^+} f(x)$ : $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures

La limite existe ssi limite à gauche = limite à droite.

Exemple — fonction $1/x$ en 0

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

Donc $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ **n'existe pas** !

III. Opérations sur les limites

Somme

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f+g)$
$\ell$	$\ell'$	$\ell + \ell'$
$\ell$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$+\infty$	$-\infty$	F.I.

Produit

Forme indéterminée

$0 \times (\pm\infty)$ est une forme indéterminée.

Quotient

Trois F.I. classiques

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$
$0 \times \infty$

Il faut lever la forme par factorisation, conjugué, ou théorème spécifique.

IV. Théorèmes pour lever les FI

Théorème des gendarmes

Énoncé

Si pour tout $x$ proche de $a$ , on a $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ , et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$ alors $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ .

Application classique

Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$ .

On encadre : $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}$

Comme $\lim \pm\frac{1}{x} = 0$ , par gendarmes : la limite vaut 0. ✓

Théorème de comparaison

Énoncé

Si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim g = +\infty$ , alors $\lim f = +\infty$ .

V. Continuité

Définition

$f$ continue en $a$

$f$ est continue en $a \in D_f$ ssi $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur $I$ ssi $f$ est continue en tout point de $I$ .

Fonctions continues à connaître

Polynômes : continus sur $\mathbb{R}$
Fonctions rationnelles : continues sur leur ensemble de définition
$\sin, \cos$ : continues sur $\mathbb{R}$
$\sqrt{\cdot}$ : continue sur $[0, +\infty[$
$\ln$ : continue sur $]0, +\infty[$
$\exp$ : continue sur $\mathbb{R}$

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

TVI — version standard

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .

Corollaire — TVI bijectif

Si en plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un unique $c$ tel que $f(c) = k$ .

Méthodes types

Pour lever $\frac{\infty}{\infty}$ avec polynômes

Factoriser par le terme dominant. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5} = \lim \frac{2 + 3/x - 1/x^2}{1 - 5/x^2} = 2$

Pour lever $\infty - \infty$ avec racines

Multiplier par le conjugué. Exemple : $\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \to \frac{1}{2}$ en $+\infty$ .

Ce qu'il faut absolument retenir

Récap pour le bac

Croissances comparées : $\ln \ll$ puissance $\ll \exp$
F.I. classiques : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$
Théorème des gendarmes : encadrement → limite identique
TVI : continuité + changement de signe → existence d'une racine
TVI bijectif : ajouter monotonie stricte → unicité

I. Limites en l'infini

Limite finie en +∞

Limite infinie en +∞

Exemples fondamentaux à connaître

II. Limites en un point

Définition

Limites à gauche et à droite

Exemple — fonction 1/x1/x1/x en 0

III. Opérations sur les limites

Somme

Produit

Quotient

IV. Théorèmes pour lever les FI

Théorème des gendarmes

Théorème de comparaison

V. Continuité

Définition

Continuité sur un intervalle

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Méthodes types

Ce qu'il faut absolument retenir

Une fiche comme ça, à partir de ton cours.

Exemple — fonction $1/x$ en 0